a) CMR với mọi số thực x,y > 0 ta có \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. CMR:
\(\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le\frac{1}{2}\)
Những câu hỏi liên quan
Giải chi tiết hộ mk:
1/Tìm x, y nguyên thoả mãn \(x+y+xy+2=x^2+y^2\)
2/Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc=1.chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
Ta có:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\frac{6b-c-a-2}{8}\\\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6c-a-b-2}{8}\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}+\frac{6b-c-a-2}{8}+\frac{6c-a-b-2}{8}\)
\(=\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a cs \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt ~
Đúng 0
Bình luận (0)
1. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + xy + y 8. Tính GTNN của biểu thức Ax^3+y^3+x^2+y^2+5left(x+yright)+frac{1}{x}+frac{1}{y}
2. Cho a,b,c 1. Tính GTNN của biểu thức Bfrac{a^2}{a-1}+frac{2b^2}{b-1}+frac{3c^2}{c-1}
3. Cho 2 số x,yne0 thỏa mãn đẳng thức sau: 2x^2+frac{1}{x^2}+frac{y^2}{4}4. Tính GTLN của biểu thức Cfrac{1}{xy}
4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Cmr: Dfrac{a^4}{b^2left(c+2right)}+frac{b^4}{c^2left(a+2right)}+frac{c^4}{a^2left(b+2right)}ge1
5. Cho a,b,c l...
Đọc tiếp
1. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + xy + y = 8. Tính GTNN của biểu thức \(A=x^3+y^3+x^2+y^2+5\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
2. Cho a,b,c > 1. Tính GTNN của biểu thức \(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)
3. Cho 2 số \(x,y\ne0\) thỏa mãn đẳng thức sau: \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\). Tính GTLN của biểu thức \(C=\frac{1}{xy}\)
4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Cmr: \(D=\frac{a^4}{b^2\left(c+2\right)}+\frac{b^4}{c^2\left(a+2\right)}+\frac{c^4}{a^2\left(b+2\right)}\ge1\)
5. Cho a,b,c là các số dương không lớn hơn 1. Cmr: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)
6. Cho 2 số thực x,y thỏa mãn điều kiện \(x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\). Cmr: \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le x+y\le9+3\sqrt{15}\).
7. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Cmr: \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\).
8. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2015.\) Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\).
9. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(\left(x+y-1\right)^2=xy\). Tìm GTNN của biểu thức: \(M=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\).
10. Tìm m để phương trình \(mx^2-\left(5m-2\right)x+6m-5=0\) có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.
11. Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn \(x^2+y\ge1\). Tìm GTNN của biểu thức: \(N=y^2+\left(x^2+2\right)^2\).
12. Cho 9 số thực \(a_1,a_2,...,a_9\) không nhỏ hơn -1 và \(a_1^3+a_2^3+...+a_9^3=0\). Tính GTLN của biểu thức \(Q=a_1+a_2+...+a_9\).
13. cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Cmr: \(\sqrt{2015a+1}+\sqrt{2015b+1}+\sqrt{2015c+1}< 78\)
Mn làm giúp mk với. Mk đang cần gấp
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow 4\leq x+y\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)
\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)
Mà:
\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)
\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)
\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)
Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)
Đúng 0
Bình luận (5)
Bài 2:
\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)
\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)
\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)
\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)
\(\Rightarrow B\geq 24\)
Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 3:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(4=2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=x^2+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}\geq 4\sqrt[4]{\frac{x^2y^2}{4}}\)
\(\Rightarrow 4\geq x^2y^2\Rightarrow 2\geq xy\geq -2\)
Ta thấy khi $xy$ càng tiến về $0$ và dương thì $C=\frac{1}{xy}$ càng lớn. Do đó $C=\frac{1}{xy}$ không có GTLN.
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
1) Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: a+b+c+ab+bc+ca=6
CMR: a2+b2+c2 >=3
2) Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y<=1
Tìm GTNN của \(P=\frac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{4}{xy}+2xy\)
1)tìm các số nguyên x và y thỏa mãn:y^2x^2+x+12)cho các số thực x và y thỏa mãn left(x+sqrt{a+x^2}right)left(y+sqrt{a+y^2}right)atìm giá trị biểu thức 4left(x^7+y^7right)+2left(x^5+y^5right)+11left(x^3+y^3right)+20163)cho x;y là các số thực khác 0 thỏa mãn x+y khác 0cmr frac{1}{left(x+yright)^3}left(frac{1}{x^3}+frac{1}{y^3}right)+frac{3}{left(x+yright)^4}left(frac{1}{x^2}+frac{1}{y^2}right)+frac{6}{left(x+yright)^5}left(frac{1}{x}+frac{1}{y}right)frac{1}{x^3y^3}4)cho a,b,c là các số dương.cmrsq...
Đọc tiếp
1)tìm các số nguyên x và y thỏa mãn:\(y^2=x^2+x+1\)
2)cho các số thực x và y thỏa mãn \(\left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\left(y+\sqrt{a+y^2}\right)\)=a
tìm giá trị biểu thức \(4\left(x^7+y^7\right)+2\left(x^5+y^5\right)+11\left(x^3+y^3\right)+2016\)
3)cho x;y là các số thực khác 0 thỏa mãn x+y khác 0
cmr \(\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\right)+\frac{3}{\left(x+y\right)^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{6}{\left(x+y\right)^5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)\(=\frac{1}{x^3y^3}\)
4)cho a,b,c là các số dương.cmr\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge1\)
1. Cho các số a,b,cdương thỏa mãn ab+ac+bc1CMR : P frac{2a}{sqrt{1+a^2}}+frac{b}{sqrt{1+b^2}}+frac{c}{sqrt{1+c^2}}lefrac{9}{4}2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz1Tìm GTLN của biểu thức Afrac{1}{x^3+y^3+1}+frac{1}{z^3+y^3+1}+frac{1}{z^3+x^3+1}3. Giải pta) sqrt{x^2-3x+2}+sqrt{x+3}sqrt{x-2}+sqrt{x^2+2x-3}b)CM:sqrt{a^2+b^2}+sqrt{c^2+d^2}gesqrt{left(a+cright)^2+left(b+dright)^2}c) Cho đường thẳng y (m-2)x + 2 (d). CMR đg thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m 4. Cho x...
Đọc tiếp
1. Cho các số \(a,b,c\)dương thỏa mãn \(ab+ac+bc=1\)
CMR : P= \(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{9}{4}\)
2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1
Tìm GTLN của biểu thức \(A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{z^3+y^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)
3. Giải pt
a) \(\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}\)
b)\(CM:\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)
c) Cho đường thẳng y= (m-2)x + 2 (d). CMR đg thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m
4. Cho x,y là các số dương
a) CM \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
b) Tìm Min M = \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)
4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0
1 Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz2xyz. Tìm GTNN củaPfrac{x}{y^2}+frac{y}{z^2}+frac{z}{x^2}+3cdotleft(frac{1}{xy}+frac{1}{yz}+frac{1}{zx}right)2 Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn: frac{1}{x^2+1}+frac{1}{y^2+1}+frac{1}{z^2+1}1 CMR : x+y+zge2cdotleft(frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}right)3 Cho a;b;c0 thỏa mãn : a^2+b^2+c^21 Tìm Min của Pfrac{a}{left(1-a^4right)^2}+frac{b}{left(1-b^4right)^2}+frac{c}{left(1-c^4right)^2}Help me. thanks
Đọc tiếp
1 Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz=2xyz. Tìm GTNN của\(P=\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}+3\cdot\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
2 Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn: \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}=1\) CMR : \(x+y+z\ge2\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
3 Cho \(a;b;c>0\) thỏa mãn : \(a^2+b^2+c^2=1\) Tìm Min của \(P=\frac{a}{\left(1-a^4\right)^2}+\frac{b}{\left(1-b^4\right)^2}+\frac{c}{\left(1-c^4\right)^2}\)
Help me. thanks
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện \(abc=1\). CMR:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số :
\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)8^2}}=\frac{3a}{4}\)
Tương tự ta có \(\frac{b^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}+\frac{c+1}{8}+\frac{a+1}{8}\ge\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\ge\frac{3c}{4}\)
Cộng theo vế các bđt trên ta được :
\(VT+2\left(\frac{a}{8}+\frac{b}{8}+\frac{c}{8}+\frac{3}{8}\right)\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(< =>VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{6}{8}\)
\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{6}{8}\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{6}{8}=\frac{12-6}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(< =>a=b=c=1\)
Done !
1. Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn
left|x+frac{1}{10}right|+left|x+frac{2}{10}right|+...+left|x+frac{9}{10}right|10x
2. Chứng minh rằng :
a) frac{1}{4}+frac{1}{4^2}+...+frac{1}{4^n} frac{1}{3} với mọi số nguyên dương n
b)frac{1}{4}+frac{1}{4^2}+...+frac{1}{4^n} frac{4}{9} với mọi số nguyên dương n
3. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z frac{x}{y+z+3}frac{y}{z+x+2}+frac{z}{z+y-5}
4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện frac{a}{b+3c}frac{b}{c+3a}frac{c}{a+3b} . Chứng minh rằng...
Đọc tiếp
1. Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn
\(\left|x+\frac{1}{10}\right|+\left|x+\frac{2}{10}\right|+...+\left|x+\frac{9}{10}\right|=10x\)
2. Chứng minh rằng :
a) \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n}< \frac{1}{3}\) với mọi số nguyên dương n
b)\(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n}< \frac{4}{9}\) với mọi số nguyên dương n
3. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = \(\frac{x}{y+z+3}=\frac{y}{z+x+2}+\frac{z}{z+y-5}\)
4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện \(\frac{a}{b+3c}=\frac{b}{c+3a}=\frac{c}{a+3b}\) . Chứng minh rằng a=b=c
5. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \(\frac{a}{b+c-a}=\frac{b}{c+a-b}=\frac{c}{a+b-c}\) (giả sử các mẫu số đều khác 0). Tính giá trị biểu thức
P=\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
1.
\(10x=|x+\dfrac{1}{10}|+|x+\dfrac{2}{10}|+...+|x+\dfrac{9}{10}| \ge 0\)
\(\Rightarrow x\ge0\)
\(pt\Leftrightarrow x+\frac{1}{10}+x+\frac{2}{10}+...+x+\frac{9}{10}=10x\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+...+\frac{9}{10}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{2}\)
4.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
\(\frac{a}{b+3c}=\frac{b}{c+3a}=\frac{c}{a+3b}=\frac{a+b+c}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a=b+3c\left(1\right)\\4b=c+3a\left(2\right)\\4c=a+3b\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow4a=b+3\left(4b-3a\right)\)
\(\Rightarrow12a=12b\Rightarrow a=b\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(3\right)\Rightarrow4c=a+3\left(4a-3c\right)\)
\(\Rightarrow12a=12c\Rightarrow a=c\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
a, \(M=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n}\)
\(\Rightarrow4M=1+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4^{n-1}}\)
\(\Rightarrow3M=1-\frac{1}{4^n}< 1\Rightarrow M< \frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
b, Lập luận tương tự câu a
\(M=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n}\)
\(\Rightarrow4M=1+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4^{n-1}}\)
\(\Rightarrow3M=1-\frac{1}{4^n}< 1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\Rightarrow M< \frac{4}{9}\left(đpcm\right)\)
Xem thêm câu trả lời